Modul 3 : Bilangan Bulat

Kegiatan Belajar 1

Pembelajaran Materi Bilangan Bulat di SD serta Ragam Permasalahannya

 

Pada kegiatan belajar 1 membahas tentang cara menanamkan pengertian dan adanya bilangan bulat, operasi hitung bilangan bulat dengan beberapa pendekatan ( konkret sampai abstrak ) penggunaan media yang tepat pada bilangan bulat, serta sifat – sifat operasi hitung pada bilangan bulat, serta ragam permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat.

PEMBAHASAN
Sebelum kita membahas lebih jauh tentang materi bilangan bulat
Perlu kita ingat ada beberapa bilangan yang kita tahu :
–          Bilangan Asli       : 1  2  3  4  5 . . .
–          Bilangan Cacah : 0  1  2  3  4 .  .  .
–          Bilangan Bulat    :  .  .  .  –  4  – 3  -2   – 1  0  1  2  3  4 . . . .
Untuk menjelaskan ke peserta didik tentang macam bilangan di atas adalah kita mulai dengan bilangan Asli mengapa demikian ? Karena dari sejak kecil secara tidak langsung kita sudah di ajarkan oleh orang tua kita tentang bilangan asli yaitu pada saat belajar mengenal bilangan . kita dikenalkan dengan bilangan 1 , 2 , 3 , 4 ,…  menggunakan jari kita bilangan – bilangan yang dikenalkan tersebut adalah merupakan anggota bilangan asli.
Kemudian setelah kita mengenal bilangan asli dikembangkan dengan bilangan bulat yang didapat dari perluasan bilangan asli .

coba perhatikan soal dibawah ini !

Soal 1
1  +   2  =  3
Kita tahu bilangan 1 , 2 , dan  3  adalah bilangan asli
Kesimpulannya :
hasil dari penjumlahan 2 bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli
Soal 2
5   +  . . . = 2
Bagaimana cara penyelesaian pada soal di atas  ? Menurut anda apakah kalimat di atas selalu dapat dilengkapi dengan bilangan asli ?
Bandingkan 2 soal di bawah ini

“ a  +   . . .  =  b”1   +  . . . =  3 Jika         a   =  1       dan     b  =  3 maka     a  <  b penyelesaiannya : -4     -3    -2     -1    0    1    2    3    4    5    6 Cara membaca garis bilangan di atas : Dari bilangan o menghadap kea rah kanan maju ( 1 bernilai positif )  1 langkah kemudian diteruskan (operasi penjumlahan )  sampai menuju bilanga 3, maka dengan garis bantu, hitung berapa langkah menuju bilangan tiga ? setelah dihitung anak panah menuju kea rah terus sehingga bernilai positif 2. Maka : Penyelesaian soal di atas adalah 1 + 2 = 3

“ a  +   . . .  =  b”5   +  . . . = 2 jika         a   =  5       dan     b  =  2 maka     a  >  b penyelesaiannya : dengan menggunakan garis bilangan kita kenalkan kepada siswa bahwa pada garis bilangan tersusun atas bilangan bulat positif dan negative -4     -3    -2     -1    0    1    2    3    4    5    6 Cara membaca garis bilangan di atas adalah dari nol jika  ke kanan maka bilangan tersebut bernilai positif jika kea rah kiri atau bilangan tersebut berada disebelah kiri nol maka bilangan tersebut bernilai negatif Maka : Untuk penyelesaian soal di atas dari nol maju lima langkah kekanan karena 5 bernilai positif, kemudian karena hasil yang didapat dari operasi penjumlahan tersebut adalah  2 maka dari bilangan 5 dengan garis bantu panah yg tetap mengarah ke kanan karena operasinya adalah penjumlahan,  hasil operasi penjumlahan soal diatas adalah bilangan 2 maka anak panah bantuan kita tarik sampai pangkalnya menempati bilangan 2 , karena arah anak panah adalah mundur maka bilangan yang di cari bernilai negative kemudian hitung berapa langkah anak panah mundur dari posisi awalnya, setelah dihitung di dapat 3 langkah mundur maka bilangan yang dicari adalah bilangan ( – 3 ). Maka  5  + ( – 3 ) =  2

Maka kesimpulan dari dua soal diatas adalah hasil dari operasi penjumlahan atau pengurangan tidak selalu hasil akhirnya bilangan asli terbukti pada
soal 1                                                                                    soal 2
1         +    2   =  3                                                                   5   +    ( -3  )   =   2
Bilangan asli                                                                                Bilangan Bulat Negatif

1. A.      KONSEP MENGENALKAN OPERASI HITUNG PADA SISTEM BILANGAN BULAT

Untuk mengenalkan konsep operasi hitung pada bilangan bulat dapat dilakukan dengan 3 tahap

1. 1.       Tahap pengenalan konsep secara konkret

Bilangan bulat mulai dikenalkan pada siswa sekolah dasar kelas 5, dalam kaitan mengenalkan bilangan bulat pada siswa harus disesuaikan dengan perkembangan mental anak yaitu pada tahap pengenalan awal siswa di berikan penjelasan dan penanaman konsep operasi hitung dalam hal ini penjumlahan dan pengurangan  secara konkret yang kemudian dikembangkan menuju pemahaman yang abstrak.
Pada tahap pengenalan konsep secara konkret kita bisa menggunakan model peraga salah satunya yang akan dijelaskan pada diskusi ini adalah Koin negatif, positif atau lebih dikenal dengan peraga manik – manik. Yang dapat dibuat dari bahan sterofom atau bahan kayu triplek yang dibentuk   lingkaran kemudian di bagi menjadi   bagian  ,yaitu   bagian sisi negatif dan   bagian yang lain adalah sisi positif tiap sisi dibedakan dengan warna berbeda missal positif diberi warna kuning negative diberi warna putih apabila kedua bagian negative dan positif di satukan akan menjadi netral atau bernilai 0.
Contoh :
Netral = 0                                        Sisi  Negatif                    sisi Positif
 Contoh penggunaan peraga pada soal
Soal 1
    5   +    ( -3  )   = ….

Langkah
Ambil 5 bagian koin sisi positif		5 Koin positif
Ambil 3 bagian negative		3 Koin negatif
Kemudian gabungkan sisi positif dan negative menjadi sebuah lingkaran		3 koin netral / bernilai 0
Setelah terbentuk lingkaran penuh ternyata ada sisa bagian positif 2 buah		2 koin positif

               
Kesimpulan :
Dari model peraga di atas disimpulkan bahwa operasi hitung
5   +    ( -3  )   =  2  bernilai positif hal itu karena dari model peraga koin setelah setiap sisi positif dan negative disatukan menjadi koin netral di dapatkan sisa 2 koin bernilai positif.

1. 2.       Tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak,

Pada pengenalan semi konkret model peraga yang dipakai untuk menanamkan konsep bisa digunakan garis bilangan dengan menyepakati aturan permainan pada mistar bilangan untuk operasi hitung penjumlahan dan pengurangan.
a)      Dimulai dari nol menghadap ke kanan
b)      Bilangan :
Positif          à          maju
Negatif       à           mundur
Nol               à           diam ( tidak bergerak )
c)       Operasi :
Tambah ( plus )       à           Terus
Kurang                        à           Berbalik arah
Contoh :
5   +    ( -3  )   =  2                                                                             
5 ( positif ) dimulai dari nol maju ke kanan
,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,
-5            -4            -3            -2            -1            0              1              2              3              4              5
3 ( negatif ) mundur 3 langkah
4 – ( -3 ) = 7                                                                                                       Panah balik arah karena operasi
                                                                                                                               pengurangan
4 langkah maju ( +4 )                     mundur 3 langkah ( -3)
,             ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,               ,
-4        -3           -2            -1           0             1   2              3              4              5              6              7

1. 3.       Tahap pengenalan konsep secara abstrak,

Pada pengenalan konsep secara konkret dan semi konkret mempunyai keterbatasan yaitu jika operasi hitung menjangkau bilangan yang cukup besar maka akan mengalami hambatan dalam membuat garis bilangan, maka melalui proses abstrak kita mulai mengenalkan konsep ke siswa cara atau tahapan penyelesaian tanpa menggunakan alat bantu.
Tahapan – tahapan :

Mengenalkan bahwa hasil dari operasi hitung bilangan bulat positif dengan positif akan menghasilkan bilangan positif	(  +  )    +    (   +  )  =  (   +  )	2  +  5   =  7
Jumlah bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya dapat berupa bulat positif atau bilangan bulat negative tergantung dari bilangan – bilangan yang dijumlahkan	( +  )  +   (  – )  =  (  + ) /  (  –  )	2         +  ( -5  )  = – 3-2    +     5       =  3
Jumlah dua bilangan bulat negative dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah negative	(  –  )   +   (   – )   =   (  –  )	-2  +  (  – 2 )  =  – 4

1. SIFAT –SIFAT OPERASI HITUNG PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT
   1. SIFAT TERTUTUP

Maksud dari sifat tertutup adalah apabila kita menjumlahkan dua bilangan bulat maka hasilnya adalah bilangan bulat atau himpunan dari bilangan bulat.
Contoh :
1  +  3   =  4                         menghasilkan bilangan bulat yaitu 4  dan – 2
1  + ( -3 ) =  -2

1. SIFAT PERTUKARAN ( KOMUTATIF )

Pada sifat komutatif berlaku ketentuan               a + b   = b  + a
Contoh :
5  +  3   =  3  + 5
8      =    8

1. SIFAT PENGELOMPOKAN ( ASOSIATIF )

Pada sifat asosiatif berlaku ketentuan                   ( a + b ) + c  =  a + (b + c )
Contoh :
( 1  +  2  ) + 3  =  1  +  (  2  +  3 )
3         +  3 =  1  +  5
6     =    6

1. SIFAT BILANGAN NOL ( UNSUR IDENTITAS )

Unsur identitas adalah apabila suatu bilangan di jumlahkan dengan bilangan tersebut maka hasilnya  tidak berunah atau bilangan itu sendiri.       a    +    0    =   a
Contoh :
-3  + 0  =  -3
0   + 5  =  5

1. SIFAT INVERS PENJUMLAHAN ( Lawan Suatu Bilangan )

a    invers nya  – a
-a  inversnya    a
Berlaku ketentuan             a   +  (-a )  =  0
( -a )  +  a   =  0

1. C.      SIFAT –SIFAT OPERASI HITUNG PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT
   1. SIFAT TERTUTUP

Maksud dari sifat tertutup adalah apabila kita mengurangkan dua bilangan bulat maka hasilnya adalah bilangan bulat atau himpunan dari bilangan bulat.
Contoh :
4– 2  =  2                               hasilnya adalah bilangan bulat 2  dan  –  2
2  – 4 = -2

1. SIFAT BILANGAN NOL ( UNSUR IDENTITAS )

Unsur identitas adalah apabila suatu bilangan di jumlahkan dengan bilangan tersebut maka hasilnya  tidak berunah atau bilangan itu sendiri.       a   –    0    =   a   ;     0   – a     =    -a
Contoh :
-3  – 0  =  -3
0   – 5  = – 5
7 –  0   =   7

1. RAGAM PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SD
2. Penggunaan Garis Bilangan yang Prinsipnya Tidak Konsisten
3. Salah penafsiran bentuk  a + ( – b )  sebagai  a – b  atau bentuk   a – ( – b )  sebagai bentuk  a + b
4. Tidak dapat membedakan tanda – atau + sebagai operasi hitung dengan tanda – atau + sebagai jenis suatu bilangan.
5. Kurang tepat memberikan pengertian bilangan bulat
6. Sulitnya memberi penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak ( tanpa menggunakan alat bantu ).

Kegiatan Belajar 2

Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Bulat serta Sistem Persamaan Linear

Pada Kegiatan belajar 2 akan dibahas tentang materi pengayaan tentang operasi hitung bilangan bulat dengan tujuan pada saat mengajarkan ke siswa guru lebih mempunyai bekal wawasan yang cukup dalam penyampaian konsep.

1. Operasi Hitung Perkalian Pada Bilangan Bulat Dalam Tahap Pengenalan Konsep Secara Konkret

Sebelum membahas tentang operasi perkalian bilangan bulat mari terlebih dahulu memahami konsep perkalian .
Contoh :
3 x 4       diartikan dengan              4 + 4 + 4                =             12
4 x 3       diartikan dengan              3 + 3 +3 + 3          =             12
Maka dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa operasi perkalian pada suatu bilangan dapat diartikan dengan penjumlahan berulang.    a   X  b    =   b  + b + b + …sebanyak   a kali
Dengan konsep tersebut guru dapat menjelaskan konsep perkalian bilangan bulat kepada siswa dengan peraga perkalian bilangan bulat berupa balok garis.
Contoh :
1)      a  x  b  dengan a > 0 dan b > 0
3  x 2 =
Cara :

1. Tempatkan model pada posisi bilangan 0 dan menghadap ke bilangan positif
2. Maju sebanyak 3 langkah setiap langkah 2 loncatan
3. Maka kedudukan akhir model menunjukkan hasil dari perkalian 3 x 2 = 6

2)      a x b dengan a > 0 dan b < 0
3 x (-2 ) =
Cara :

1. tempatkan model pada posisi bilangan 0 menghadap ke bilangan negative ( karena penjumlahannya bilangan  ^–2)
2. model maju 3 langkah, setiap langkah loncat 2
3. maka model di akhir menunjukkan pada posisi negative 6, jadi 3 x ( -2 ) = -6

3)      a x b  dengan a <0 dan b > 0
-3 x 2 =
Cara :

1. Tempatkan model pada posisi bilangan 0 menghadap ke bilangan positif ( karena 2 adalah positif )
2. Model mundur 3 langkah ( karena 3 bernilai negative ) setiap langkah 2 kali loncatan.
3. Maka hasil dari perkalian -3 x 2 = -6

4)      a x b  dengan a < 0 dan b < 0
-3 x -2 =
Cara :

1. Tempatkan model pada posisi bilangan 0 menghadap arah bilangan negative
2. Model mundur 3 langkah tiap langkah 2 kali loncatan.
3. Maka hasil dari perkalian -3 x -2 = 6
   1. Konsep hitung perkalian pada bilangan cacah, berlaku sifat :
      1. Komutatif

a x b = b x a

1. Asosiatif

( a x b) c = a x ( b x c )

1. Adanya unsure identitas

a x 1 = 1 x a = a

1. OPERASI PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
   1. Pengenalan konsep secara konkret

Dapat kita kenalkan dengan menggunakan balok garis bilangan
Ketentuan :

1. Untuk menunjukkan bilangan yang akan dibagi misal : a
2. Dengan skala bilangan pembaginya misal : b
3. Jika b >0 ( bilangan positif ) à posisi awal model menghadap ke bilangan positif
4. Jika b < 0 ( bilangan negative ) à posisi model menghadap ke bilangan negative
5. Bilangan yang merupakan hasil pembaginya ditentukan dari jumlah langkah
6. Jenis bilangannya ditentukan oleh gerakan maju atau mundur model

Contoh :

1. -6 : 2 =

b > 0 à posisi awal model menghadap ke bilangan positif di skala 0
Untuk sampai pada bilangan -6 , model bergerak mundur 2 loncatan ( bilangan pembaginya / b ) setiap 1 langkahnya
3       2        1          
Hasil dari –6 : 2 = -3 , diperoleh dari menghitung jumlah langkah mundur model yaitu 3 langkah mundur yang artinya bernilai negative.

1. -6 : -2 =

b < 0 à posisi awal model menghadap ke bilangan negative di skala 0
untuk sampai ke bilangan -6 , model bergerak maju sebanyak 3 langkah dengan 2 loncatan setiap langkah
hasil dari -6 : -2 = 3, diperoleh dari menghitung jumlah langkah maju model yaitu 3 langkah maju yang menandakan bernilai positif.

1. Persamaan dan pertidaksamaan dengan satu peubah.

Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah dapat dilakukan dengan menjadikan persamaan tersebut menjadi bentuk persamaan ekuivalen yang paling sederhana.
( ekuivalen : persamaan – persamaan yang himpunan penyelesaiannya sama )
Cara pengerjaan menyederhanakan :

1. Melakukan penambahan atau pengurangan pada kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.
2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama dan bukan nol.

Contoh :
X + 3  = 9
ó x + 3 + ( -3 ) = 9 + ( -3 )                        kedua ruas ditambah ( -3 )
ó x + 0 = 6                                                      sifat identitas penjumlahan
ó x = 6
HP : { 6 }

Sumber :  sitaberbagi.com